MAKALAH STATISTIKA, PELUANG (PROBABILITAS) DAN TRIGONOMETRI

STATISTIKA, PELUANG (PROBABILITAS)

DAN TRIGONOMETRI

KATA PENGANTAR

Syukur Alhamdulillah penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, yang telah melimpahkan rahmat dan karunia-Nya sehigga penulis telah dapat menyelesaikan Penugasan ini dengan judul “     Statistika Peluang (Probabilitas) Dan Trigonometri”,  dan tak lupa pula selawat beriring salam penulis sanjungkan kepangkuan alam Nabi Besar Muhammad SAW. yang telah membawa ummatnya dari alam kebodohan ke alam yang penuh dengan ilmu pengetahuan.

Dalam proses penyelesaian Penugasan ini penulis banyak menerima bantuan dan bimbingan dari banyak pihak yang di sini tidak dapat disebutkan satu persatu. Untuk itu penulis mengucapkan ribuan terima kasih kepada semua pihak yang membantu hinga terselesainya Penugasan ini.

Selanjutnya penulis menyadari bahwa Penugasan ini masih banyak kekurangan, oleh kerena itu kritikan dan saran yang sifatnya membangun sangat penulis harapkan demi penyempurnaan Penugasan ini di masa yang akan datang.

Akhirnya dengan penuh pengharapan kiranya Penugasan ini dapat bermanfaat bagi penulis maupun bagi pihak lain yang membutuhkan

Amin yarabbal‘alamin

 

Aceh Besar,    Desember 2010

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR    ..........................................................................................     

DAFTAR ISI    .........................................................................................................     

BAB I PENDAHULUAN  ......................................................................................     

BAB II STATISTIKA .............................................................................................            

A.    Pengertian Statistika..................................................................................     

B.     Penyajian Data..........................................................................................     

1.      Diagram Garis.....................................................................................     

2.      Grafik Garis Berganda........................................................................     

3.      Grafik Garis Komponen Berganda.....................................................     

4.      Grafik Garis Persentase Komponen Berganda....................................     

5.      Diagram Lingkaran..............................................................................     

6.      Diagram Batang..................................................................................     

7.      Diagram Batang Daun.........................................................................     

8.      Distribusi Frekwensi............................................................................     

9.      Distribusi Frekwensi Relatif................................................................     

10.  Distribusi Frekwensi Kumulatif..........................................................     

11.  Beberapa istilah yang perlu dipahami pada daftar distribusi frekwensi data berkelompok                

12.  Cara membuat daftar distribusi frekwensi data berkelompok............     

13.  Kuartil.................................................................................................     

14.  Distribusi Frekwensi Komulatif..........................................................     

15.  Histogram Poligram Frekwensi dan Ogif............................................     

16.  Rataan (Mean).....................................................................................     

BAB II PELUANG (PROBABILITAS).................................................................     

1.       Aturan pengisian tempat......................................................................     

2.      Permutasi..............................................................................................     

3.      Kombinasi.............................................................................................     

4.      Peluang.................................................................................................     

5.      Frekwensi harapan suatu kejadian........................................................     

6.      Kejadian Majemuk...............................................................................     

7.      Peluang dua kejadian saling bebas.......................................................     

8.      Peluang dua kejadian bersyarat............................................................     

BAB III TRIGONOMETRI.....................................................................................     

1.      Rumus Trigonometri untuk jumlah 2 sudut dan selisih 2 sudut...........     

2.      Rumus sudut Rangkap.........................................................................     

3.      Rumus jumlah dan selisih fungsi trigonometri.....................................     

4.      Identitas trigonometri...........................................................................     

5.      Grafik fungsi trigonometri....................................................................     

BAB IV PENUTUP..................................................................................................     

BAB I

PENDAHULUAN

Statistika adalah sebuah cabang ilmu dari matematika yang mempelajari cars-cars:

(1)      mengumpulkan dan menyusun data, mengolah dan menganalisa data, Berta menyajikan data dalam bentuk kurva atau diagram,

(2)      menarik kesimpulan, menafsirkan parameter, dan menguji hipotesa (dugaan) yang didasarkan pada hasil pengolahan data.

Dari hasil pengolahan suatu kumpulan data diperoleh sebuah ringkasan data. Ringkasan data ini berupa sebuah nilai yang disebut statistik. Jadi, statistik dapat memberikan .-ambaran tentang suatu kumpulan data dalam bentuk sebuah nilai.

BAB I

STATISTIKA

A.    Pengertian Statistika

Statistika adalah laporan dalam bentuk angka atau diagram, misalnya :

-        Sebuah penerbit melaporkan hasil produksinya untuk 5 (lima) tahun terakhir.

-        Sebuah sekolah melaporkan rata-rata nilai masing-masingmata pelajaran setiap ulangan umum.

Statistika merupakan satu cabang matematika yang mempelajari :

1.      Cara pengumpulan data pengolahan data dan penyajian data dengan sistematis agar data-data itu dapat dipahami dengan jelas.

2.      Menganalisis dan manafsirkan data-data agar dapat digunakan untuk pengambilan keputusan . perencanaan dan kesimpulan dengan tepat dari sifat-sifat data tersebut.

B.     Penyajian Data

1.      Diagram Garis

Pada diagram garis sumbu x (sumbu horizontal) untuk satuan waktu, sedangkan sumbu y digunakan untuk frekwensi.

Contoh :

Disebuah areal parker akan diamati jumlah kendaraan yang diparkir dalam selang waktu tertentu adalah sebagai berikut :

Pukul	06.00	08.00	10.00	12.00	14.00	16.00	18.00
Banyaknya kendaran	0	14	18	20	12	8	16

2.      Grafik Garis Berganda

Grafik Garis berganda adalah garafik yang terdiri dari beberapa garis untuk menggambarkan perkembangan beberapa hal atau kejadian sekaligus.

Contoh Grafik Garis Berganda

3.      Grafik Garis Komponen Berganda

Serupa dengan grafik garis berganda, akan tetapi garis yang teratas atau terakhir menggambarkan masing-masing komponen.

Contoh Grafik Garis Komponen Berganda

4. Grafik Garis Persentase Komponen Berganda

Serupa dengan grafik garis komponen berganda, hanya masing-masing komponen dinyatakan sebagai persentse terhadap jumlah (total).

5.      Diagram Lingkaran

Diagram lingkaran adalah penyajian data dengan menggunakan sector-sektor dalam suatu lingkaran . diagram ini sangat baik untuk menunjukkan perbandingan antara objek yang satu dengan objek yang lainnya serta terhadap keseluruhan dalam suatu penyelidikan.

Contoh soal :

Di suatu kelurahan pada tahun 2006 terdapat 180 orang siswa dengan rincian sebagai berikut: 90 orang siswa SD, 50 orang siswa SMP, 30 orang siswa SMA, dan 10 orang siswa SMK, jika data siswa ini hendak disajikan dengan diagram lingkaran, maka sudut tiap sector lingkaran ditentukan terlebih dahulu sebagai berikut :

90 orang siswa SD, sudut sektornya

= x 360⁰ = 180⁰

            50 orang siswa SMP, sudut sektornya

            =  x 360⁰ = 100⁰

            30 orang siswa SMA, sudut sektornya

            =  x 360⁰ = 60⁰

            10 orang siswa SMK, sudut sektornya

            =  x 360⁰ = 20⁰

            Sub 6

6.      Diagram Batang

Diagram batang ialah suatu penyajian data dengan menggunakan batang-batang arah vertikal atau horizontal.

Contoh Diagram Batang

Sub 7

7.      Diagram Batang Daun

Diagram batang daun adalah suatu metode penyajian data statistic dalam kelompok batang dan kelompok daun dari suatu set data

Sub 8

8.      Distribusi Frekwensi

Sub 9.1

9.      Distribusi Frekwensi Relatif

Distribusi frekwensi relatif adalah distribusi frekwensi yang frekwensi masing-masing kelasnya dapat diperoleh dengan menyatakan persentase frekwensi kelas tersebut terhadap jumlah seluruh frekwensi.

Sub 10

10.  Distribusi Frekwensi Kumulatif

a.       Distribusi frekwensi kumulatif kurang dari

b.      Distribusi frekwensi kumulatif lebih dari.

Sub 11

11.  Beberapa istilah yang perlu dipahami pada daftar distribusi frekwensi data berkelompok sebagai berikut :

a.       Kelas

b.      Batas Kelas

Batas kelas adalah nilai-nilai ujung yang terdapat pada suatu kelas nilai ujung bawah. Pada suatu kelas disebut batas bawah kelas sedangkan nilai ujung atas disebut atas kelas.

c.       Tepi Kelas

Untuk data yang diperoleh dari hasil pengukuran dengan ketelitian sampai satu kedekatan, maka tepi kelas ditentukan :

Tepi bawah           =  batas bawah – 0,5 Tepi atas               =  batas atas + 0,5

 

Contoh soal :

Kelas II (21 – 40)

Tepi bawah    = 21 – 0,5

                       = 20,5

Tepi atas        = 40 + 0,5

                       = 40,5

d.      Panjang Kelas

Jika tiap kelas mempunyai panjang yang sama maka panjang kelas merupakan selisih antara tepi atas dan tepi bawah.

Panjang Kelas = tepi atas – tepi bawah

Contoh soal :

Kelas III (41 – 60)

Panjang kelas   = 40,5 – 60,5

                         = 20

Tepi bawah      = 41 – 0,5

                         = 40,5

Tepi atas           = 60 + 0,5

                         = 60,5

e.       Titik Tengah Kelas

Titik tengah suatu kelas merupakan nilai yang dianggap mewakili kelas itu, titik tengah kelas disebut juga nilai tengah kelas atau rataan kelas. Rataan kelas / nilai tengah / titik tengah

Batas bawah + Batas atas 2

Contoh soal:

Kelas 4

61 – 80

Batas bawah = 61

Batas atas      = 80

Rataan           =

                       = 70,5

 Sub 12

12.  Cara membuat daftar distribusi frekwensi data berkelompok

a.       Dalam statistika jajaran untuk mengurutkan data terkecil sampai terbesar kemudian tentukan jangkauan.

Jangkauan (j) x max – x min

b.     

K = l + 3,3 logn

Tentukan banyak kelas dengan menggunakan rumus empiris maka banyak kelas sebagai berikut :

c.      

Panjang Kelas : Jangkauan perbanyak Kelas

Panjang kelas atau interval kelas dapat ditentukan sebagai berikut :

d.      Dengan menggunakan panjang kelas yang diperoleh sehingga mencakup semua nilai data. Nilai x min berada pada kelas terendah (tidak harus sebagai batas bawah) dan x max berada pada kelas tertinggi (tidak harus sebagai batas atas).

e.      

H = Q3 – Q1

Jangkauan antar kuartil atau hamparan jangkauan antar kuartil atau hamparan selisih antara kuartil atas dan kuartil bawah

f.       Simpanan kaurtil atau Q_d adalah setengah dari selisih antara kuartil atas dan kuartil bawah.

Qd = ½ Q3 – Q1

 

 Sub 13

13.  Kuartil

Kuartil adalah ukuran-ukuran yang membagi data menjadi empat bahagian ujung sama setelah data diukur dari data kecil sampai data-data terbesar.

Nilai-nilai kuartil dinotasikan dengan Q­₁ (kuartil bawah), Q₂ (median), Q₃ (kuartil atas) sedemikian hingga :

25 % data kurang dari Q₁

50 % data kurang dari Q₂

75 % data kurang dari Q₃

Contoh soal :

Tentukanlah Q₁, Q₂, Q₃ dari data berikut :

78 79 80 82 84 85 88 90 92 96

40 42 66 63 46 63 53 62 58 60

78 72 68 68 70 72 73 74 76 77

Jawab :

n = 30

Q₁ adalah 25 % dari 30

Q₁     =  x 30

        =  

        = 7,5

Sub 14

14.  Distribusi Frekwensi Komulatif

Distribusi frekwensi komulatif terdiri dari :

1.      Distribusi frekwensi komulatif kurang dari atau sama dengan (Fk  ≤)

2.      Distribusi frekwensi komulatif lebih dari atau sama dengan (Fk ≥)

Sub 15

15.  Histogram Poligram Frekwensi dan Ogif

Diagram dari suatu daftar distribusi frekwensi disebut histogram. Dari histogram dapat digambarkan polygon frekwensi.

Diagram dari suatu distribusi frekwensi komulatif disebut Ogif Histograf. Ogif histograf adalah penyajian data distribusi frekwensi dengan menggunakan gambar berbentuk persegi panjang, tiap persegi panjang mewakili kelas-kelas tertentu.

·         Lebar persegi panjang menunjukkan panjang kelas

·         Panjang persegi panjang menunjukkan frekwensi kelas.

Selanjutnya , jika kita menghubungkan titik-titik tengah dengan sisi-sisi atas tiap persegi pada histogram tersebut maka kita akan mendapatkan grafik garis yang disebut polygon frekwensi.

Jika nilai frekwensi komulatif dihubungkan dengan kurva maka diperoleh diagram yang disebut Poligon Frekwensi Komulatif, jika titik tadi dihubungkan dengan kurva yang mulus maka akan diperoleh kurva komulatif frekwensi yang disebut dengan Ogif.

     Gambar Histogram Poligram Frekwensi

  Sub 16

16.  Rataan (Mean) untuk data tunggal dan data kelompok

Keterangan :

                       : exbar / rataan / mean

               x₁     : data terkecil

               n      : banyaknya data

BAB II

PELUANG (PROBABILITAS)

Kaidah Pencacahan

1. Aturan Pengisisan Tempat
2. Permutasi
3. Kombinasi

1.      Aturan Pengisian Tempat

Contoh :

Seorang mempunyai empat sepatu dengan warna (merah, kuning, hijau dan biru) dengan tiga sandal yang berwarna (hitam, putih dan coklat) dan pasangan yang beberapa orang tersebut dapat memakai sepatu dan sandal sebagao berikut :

Sepatu                                               Sandal

merah                                                            Hitam

kuning                                               Coklat

hijau                                                  Putih

biru

3

4

                              

                                   4 x 3 = 12 pasangan

2.      Permutasi

Notasi Vaktorial

      Dari contoh aturan pengisian tempat dapat diambil kesimpulan bahwa bila tersedia n (tempat) yang akan diisi oleh n (orang) maka dapat ditulis         n_x (n-1) x (n-2)_x….._{x3 x2 x1}

                                        n! = n (n-1) x (n-2)_x…3.2.1

contoh soal :

berapakah banyaknya permutasi dari 4 huruf A, B, C, dan Dan?

Jawab :

Sebuah contoh permutasi atau susunan 4 huruf dalam suatu urutan adalah

Huruf pertama       huruf kedua     huruf ketiga     huruf keempat

           B                        D                    A                    C

·         Huruf pertama dalam susunan itu dapat dipilih dengan 4 cara, yaitu huruf A, atau B, atau  C, atau D

·         Huruf kedua dapat dipilih dengan 3 cara. Misalnya, jika huruf pertama dipilih B maka huruf kedua yang dapat dipilih adalah Dan, atau A, atau C

·         Huruf ketiga dapat dipilih dengan 2 cara. Misalnya, jika huruf pertama dipilih B dan huruf kedua dipilih Dan, maka huruf ketiga yang dapat dipilih adalah A atau C

·         Huruf keempat dapat dip[ilih dengan 1 cara. Misalnya, jika huruf pertama dipilih B, huruf kedua dipilih Dan, dan huruf ketiga dipilih A, maka huruf keempat tinggal 1 pilihan, yaitu huruf C

Dengan menggunakan aturan perkalian, banyak susunan yang mungkin itu seluruhnya adalah:

4 x 3 x 2 x 1 = 24

3.      Kombinasi

Contoh soal :

Misalnya andi memiliki 5 cat berwarna merah (M) kuning (K) hijau (H) biru (B) ungu (U) berapakah kombinasi yang terjadi dari 3 warna cat yang dapat disusun.

      Jawab :

A = M, K, H, B, U

Maka coba susun oleh kamu 3 warna.

-          M, K, H                             

-          K, H, B

-          M, H, B

-          M, B, U

Rumus

= 120

4.      Peluang

Peluang ada 2, yaitu:

1.      Ruang sampel (ruang contoh)  s

2.      Titik Sampel (titik contoh atau kejadian khusus)

Contoh soal :

Pada sebuah mata dadu S = {1,2,3,4,5,6}

Mata dadu yang genap {2,4,6}

Peluang suatu kejadian dapat ditentukan dengan rumus.

   

n (A) = banyaknya kejadian

n (S) = banyaknya semesta

pada pelemparan mata dadu berapakah Peluang Genap, Ganjil dan prima?.....

jawab

a.                                                     

                                                     n (A)  = {2,4,6}

b.                                                     

                                                     n (A)  = {1,3,5}

c.                                                         

                                                       n (S)  = {1,2,3,4,5,6}

  Sub 3

5.      Frekwensi Harapan Suatu Kejadian

Contoh soal:

Banyaknya percobaan yang dilakukan dikalikan dengan suatu kejadian disebut (frekwensi harapan).

FH (A) = n.P(A)

Sebuah dadu dilemparkan sebanyak 200 kali, tentukan frekwensi harapan munculnya mata dadu :

a.       Bilangan Prima

b.      Bilangan ≤ = 4

c.       Bilangan Genap

Jawab :

a.       Bilangan Prima

A          = {2,3,5}

n (A)    = 3

n (S)     = 6

P (A)    = 3/6

             = 1/2

F!₂ (A)  = P (A) x n

             = ½ x 200 kali

             = 100 kali

b.      Bilangan ≤ 4

n           = {(1,2,3,4)}                        Fh (A)      = n.(PA)

n (A)    = 4                                                        = 200 kali 2/3

n (S)     = 6                                                        = 400/3

P(A)     =                                                           = 133,3

             = 4/6

             = 2/3

c.       Bilangan Genap

A          = {(2,4,6)}

n (A)    = 3

n (S)     = 6

P(A)     =   3/6 = ½

Fh (A)  = ½ x 200 kali

             = 100 kali

  Sub 5

6.      Kejadian Majemuk

a.       2 kejadian saling lepas P (A V B) = P (A) + P (B) – P (A^ B)

Contoh soal:

Kejadian (A) munculnya mata  dadu prima

Kejadian (B) munculnya mata dadu ganjil

Tetntukan :

a)      A  B =

b)      A  B =

c)      Rumus 2 kejadian saling lepas

Jawab :

a.       A        = (2,3,5)

n (A)   = 3

n (S)    = 6

           =

           = ½

b.      A (1,3,5)

n (A)   = 3

n (S)    = 6

           =

           = ½

c.       Pada (A  B)    = P (A) + P(B) – P (A  B)

                          =( + )  -   

                          =

                          =

                          =

  Sub 6

7.      Peluang dua kejadian  saling bebas

Kejadian A dan Kejadia B dikatakan saling bebas jika kejadian A tidak terpengaruh oleh kejadian B atau sebaliknya, berlaku :

P (A  B) = P (A) x P (B)

P (A  B)   P (A) x P B  dua kejadian tidak saling bebas

Contoh soal :

2 buah dadu nmerah dan biru dilempar bersamaan sekali, tentukanlah :

a.       Munculnya jumlah mata q

b.      Munculnya mata dadu merah 4

Apakah kejadian A dan B kejadian yang saling bebas atau tidak saling bebas.

Jawab :

a.       Munculnya jumlah mata dadu q

A       = (3,6) (4,6) (5,4) (6,3)

n (A) = 4

n (S)   = 36

          = 4/36

          = 1/q

b.      Munculnya mata dadu merah 4

A       = (1,0) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)

n (A)  = 6/36

n (S)   = 1/6

sub 7

8.      Peluang 2 kejadian bersyarat

Peluang munculnya kejadian A dengan syarat kejadian A telah terjadi di lambangkan dengan P (B/A) = P  dimana PA tidak sama dengan nol

 Contoh soal :          

I            II  III	A	6
(A,A)	(A,A,A)	(A,A,6)
(A,6)	(A,6,A)	(A,6,6)
(6,A)	(6,A,A)	(6,A,6)
(6,6)	(6,6,A)	(6,6,6)

Misalkan A dan B adalah 2 kejadian dimana.

PA =

PB =

P (A B) =

Tentukanlah :

a.       Rumus kejadian 2 kejadian saling lepas

b.      Rumus kejadian 2 kejadian saling bebas

c.       Peluang A dan B bersyarat

d.      Peluang B bersyarat A

Jawab :

a.       P (A B)          = P(A) + P(B) – P (A B)

                  =  +  -

                  =

                  =

b.      P (A B)  P (A) x P (B)

          =  x

          =

          =

c.       P (A/B) =

              =

              =  x

              =

d.      P (B/A)  = P

              =

            =  x

=

=

Sub 3

BAB III

TRIGONOMETRI

1. Rumus trigonometri untuk jumlah 2 sudut dan selisih  2 sudut :

1. Rumus Cos = α + β

  

Atau

                          

           

2. Rumus tan (α.β)

Sub 2

2. Rumus Sudut Rangkap

       

Sub 3

Untuk setiap α dan β berlaku rumus-rumus berikut :

Sub 4

3. Rumus jumlah dan selisih fungsi trigonometri

Sub 5

4. Identitas Trigonometri

Rumus trigonometri dasar yang akan sering digunakan.

v  Rumus-rumus kebaikan

                           dan     

v  Rumus-rumus Perbandingan

   dan     

v  Rumus-rumus Pythagoras

       dan  1 +

v  Rumus-rumus Trigonometri untuk sudut-sudut berelasi

Contoh soal :

Untuk setiap sudut α , buktikan bahwa

Jawab :

Jabarkan ruas kiri :

 =

                          = (

                          = 1 – sin 2 α

Sub 6

5. Grafik Fungsi Trigonometri

y = sin x⁰ (0⁰ ≤ 360⁰)

-  Grafik fungsi y = sin x⁰ terdiri dari 2 π dan 1 amplitudo, 1π = 360⁰ sumbu x dari 0 sampai 360

-  Titik maksimum yaitu {90,1} tepatnya di π/2

-  Titik minimum yaitu {270, -1} tepatnya 3π/2 y = cos x⁰

-  Grafik fungsi y = cos x⁰ terdiri dari 2π dan 1 amplitudo

-  Mempunyai 2 titik maksimum dan tidak mempunyai amplitude

-  Titik minimum  -1 yaitu {180, -1} di titik π 1+(x) = y=tan x

-  Mempunyai periode π tidak memiliki amplitude

-  Tidak mempunyai titik maksimum dan tidak punya titik minimum

-  Grafik fungsi tan terdiri dari 3 kurva yang terpisah

BAB IV

PENUTUP

Kesimpulan

1. Statistika adalah laporan dalam bentuk angka atau diagram
2. Statistika merupakan satu cabang matematika yang mempelajari :

a.       Cara pengumpulan data pengolahan data dan penyajian data dengan sistematis agar data-data itu dapat dipahami dengan jelas.

b.      Menganalisis dan manafsirkan data-data agar dapat digunakan untuk pengambilan keputusan . perencanaan dan kesimpulan dengan tepat dari sifat-sifat data tersebut.

3. Grafik Garis berganda adalah garafik yang terdiri dari beberapa garis untuk menggambarkan perkembangan beberapa hal atau kejadian sekaligus.
4. Diagram lingkaran adalah penyajian data dengan menggunakan sector-sektor dalam suatu lingkaran . diagram ini sangat baik untuk menunjukkan perbandingan antara objek yang satu dengan objek yang lainnya serta terhadap keseluruhan dalam suatu penyelidikan.
5. Diagram batang ialah suatu penyajian data dengan menggunakan batang-batang arah vertikal atau horizontal
6. Diagram batang daun adalah suatu metode penyajian data statistic dalam kelompok batang dan kelompok daun dari suatu set data
7. Distribusi frekwensi relatif adalah distribusi frekwensi yang frekwensi masing-masing kelasnya dapat diperoleh dengan menyatakan persentase frekwensi kelas tersebut terhadap jumlah seluruh frekwensi.
8. Kuartil adalah ukuran-ukuran yang membagi data menjadi empat bahagian ujung sama setelah data diukur dari data kecil sampai data-data terbesar
9. Ogif histograf adalah penyajian data distribusi frekwensi dengan menggunakan gambar berbentuk persegi panjang, tiap persegi panjang mewakili kelas-kelas tertentu.