Makalah BILANGAN KOMPLEKS

 

DAFTAR ISI

 

Kata pengantar.......................................................................................... ii

Daftar isi ........................................................................................................ iii

Bab i pendahuluan..................................................................................... 1

A . Latar Belakang ........................................................................................... 1

B . Rumusan Masalah....................................................................................... 1

C . Tujuan Penulisan......................................................................................... 2

Bab ii pembahasan................................................................................................... 3

A.       Pengertian Bilangan Kompleks     ............................................................. 3

1.      Penjumlahan.......................................................................................... 3

2.      Pengurangan.......................................................................................... 3

3.      Perkalian................................................................................................ 4

4.      Pembagian............................................................................................. 4

Bab iii penutup............................................................................................... 7

A.    Kesimpulan................................................................................................ 7

B.     Saran.......................................................................................................... 7

Daftar pustaka........................................................................................... 8

 

 

BAB I

PENDAHULUAN

 

A.      Latar Belakang

Bilangan kompleks merupakan salah satu terobosan penting dalam dunia Matematika. Bagi yang telah mengikuti perkuliahan Aljabar Linear, himpunan bilangan bulat telah dikenal sebagai suatu himpunan yang sederhana yang memiliki struktur grup, dan lebih jauh lagi gelanggang. Struktur grup dari bilangan bulat membuat setiap persamaan linear monik memiliki solusi. Tetapi persamaan linear umum:

ax + b = c

dengan a; b; c di suatu himpunan F menuntut struktur yang lebih canggih bagi F, yaitu lapangan.

Tetapi lapangan ini tidak memiliki sifat berikut ini: setiap subset terbatas darinya memiliki batas atas terkecil dan batas bawah terbesar. Sifat ini yang kemudian berakibat setiap barisan Cauchy konvergen. Sifat ini disebut "lengkap". Kebutuhan untuk mengkonstruksi sebuah lapangan yang lengkap yang kemudian memberikan himpunan bilangan real. Tetapi, meskipun himpunan bilangan real memiliki sifat kelengkapan, lapangan tersebut tidak tertutup secara aljabar: setiap polinom berderajat n memiliki n buah pembuat nol.

Salah satu contoh klasik mengenai fakta ini adalah persamaan x² +1 = 0 yang sama sekali tidak memiliki akar di bilangan real. Jika akar dari persamaan ini disebut i, maka kita dapat membentuk lapangan bilangan kompleks yang tertutup secara aljabar. Masalah yang serius dalam hal ini adalah persamaan: x² +1 = 0 memiliki dua akar. Akar yang manakah yang akan kita pilih sebagai i? Ini sebabnya pendekatan yang lebih formal dan rigid dibutuhkan untuk mendefinisikan himpunan bilangan kompleks.

 

B.       Rumusan Masalah

1.      Apa itu Bilangan kompleks?

2.      Bagaimana cara melakukan operasi hitung pada Bilangan kompleks?

 

C.      Tujuan Penulisan

1.      Mampu menjelaskan pengertian Bilangan kompleks.

2.      Agar bisa melakukan operasi hitung pada Bilangan kompleks.

 

BAB II

PEMBAHASAN

 

A.    Pengertian Bilangan Kompleks    

Bilangan kompleks adalah suatu bilangan berbentuk a + bi, di mana a dan b bilangan real, sedangkan i adalah satuan khayal (imajiner). a disebut bagian real dan b disebut bagian khayal dari bilangan kompleks tersebut. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai b adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real a.

Bilangan kompleks dapat ditambah, dikurang, dikali, dan dibagi seperti bilangan real; namun bilangan kompleks juga mempunyai sifat-sifat tambahan yang menarik. Misalnya, setiap persamaan aljabar polinomial mempunyai solusi bilangan kompleks, tidak seperti bilangan real yang hanya memiliki sebagian.

 

Jika z₁ = a + bi atau z1 = ( a, b ) dan z2 = c + di atau z₂ = ( c , d )

Maka :

1.      Penjumlahan

z₁ + z₂     = ( a + bi ) + ( c + di )

               = ( a + c ) + ( b + d )i

               = ( a + c, b + d )

atau

z₁ + z₂     = ( a, c ) + ( b, d )

               = ( a + c, b + d )

               = ( a + c ) + ( b + d )i

2.      Pengurangan

z₁ - z₂      = ( a + bi ) - ( c + di )

               = ( a + bi ) - c - di

               = ( a – c ) + ( bi – di )

               = ( a – c ) + ( b – d )i

               = [( a – c,  b – d )]

 

 

3.      Perkalian

z₁ x z₂    = ( a + bi ) x ( c + di )

               =  ac + adi + cbi + bidi

               = ac + ( ad + cb )i + bdi²

               = ac + ( ad + cb )i + bd (-1)

               = ( ac – bd ) + ( ad + cb )i

               = [( ac – bd ), ( ad + cb )]

 

4.      Pembagian

Sebuah bilangan kompleks dapat digambarkan pada bidang kompleks dengan sumbu X sebagai sumbu  real dan sumbu Y sebagai sumbu khayal. Bilangan kompleks a + bi dinayatakan dengan titik  (a, b). Bilangan nol adalah bilangan kompleks  0 + 0i, dapat dinyatakan dengan titik (0, 0). Bilangan a adalah bilangan kompleks a + 0i, dinyatakan dengan titik (a, 0). Bilangan khayal i adalah bilangan kompleks 0 + 1i dinyatakan dengan titik (0, 1).

 

Contoh Soal Bilangan Kompleks

Contoh Soal 1:

Ada 4 bilangan kompleks yang disimbolkan z1, z2, z3, dan z4.

z1 = 3 + 6            z3 = -2-2

z2 = -3+2             z4 = 4 - 3

Gambarkan titik-titik z1, z2, z3, dan z4 di bidang kompleks!

Jawab:

Kita buat koordinat x dan y, di mana z=x + y . 4 titik itu digambar sebagai berikut.

 

 

  

Suatu bilangan kompleks z dinotasikan sebagai z = (x + y).

Jika z =

 

 tentukan x dan y. Lalu, gambarkan z dalam bidang kompleks!

Jawab:

Bentuk z diubah dulu atau disederhanakan

Nah, di sini didapat bahwa x=5 dan y = 

Ini adalah lokasi titik z di bidang kompleks:

 

Titik yang berwarna merah adalah titik yang dimaksud.

 

 

Contoh Soal 3 :

(3+4i)(2-5i) = ….

Jawab:

Lakukan perkalian biasa terlebih dahulu.

(3+4i) (2-5i) = 6 -15i + 8i -20i²

Lalu ubah i² menjadi 1.(3+4i) (2-5i) = 6 -15i + 8i +20 = 26 -7i.

 

Contoh Soal 4 :

Nyatakan a = 0,371371371… (371 berulang) sebagai hasil bagi dua bilangan bulat, yang berarti a merupakan rasional.

Jawab:

1000 a   = 371,371371371…

           a =     0,371371371…  _

   999 a  = 371,0

Berarti a = 371/999

 

 

BAB III

PENUTUP

 

A.    Kesimpulan

1.      Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk:

2.      a + bi atau a + ib dapat ditulis (a,b). a dan b bilangan real dan i2 = –1.

3.      Bilangan kompleks dapat ditambah, dikurang, dikali, dan dibagi seperti bilangan real.

4.      Sebuah bilangan kompleks dapat digambarkan pada bidang kompleks dengan sumbu X sebagai sumbu  real dan sumbu Y sebagai sumbu khayal.

 

B.     Saran

          Dalam mempelajari bilangan kompleks ini dibutuhkan ketelitian dalam menghitung agar tidak terjadi kesalahan. Dan berlatih dengan mengerjakan soal-soal yang berhubungan dengan bilangan kompleks.

 

 

 

 

DAFTAR PUSTAKA

 

https://www.academia.edu/5559355/BILANGAN_KOMPLEKS_2

 http://www.slideshare.net/nepriandari/isi-makalah-16707510

https://www.academia.edu/3888003/makalah_varkom_bilangan_kompleks_dan_modulus

http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_kompleks

Buku Matematika Dasar