MAKALAH EKONOMETRIKA

EKONOMETRIKA

BAB 7

MODEL DUA VARIABEL : PENGUJIAN HIPOTESIS

MODEL REDRESI LINIER KLASIK

            Asumsi – asumsi MRLK sebagai berikut:

A7.1. Model regresi berbentuk linier dari segi parameternya; Dari segi variabelnya               model ini dapat berbentuk linier ataupun tak linier. Model regresinya dapat di tulis seperti:

Y₁ = B₁ + B₂ X₁ + u_{i                                                                                               (6.2)}

A7.2. Variabel penjelas X tidak berkolerasi dengan factor gangguan acak u. Tetapi, jika variable X bersifat nonstokhastik (yaitu, nilainya merupakan angka yang telah ditentukan sebelumnya), maka asumsi ini otomatis terpenuhi.

A7.3. Dengan nilai X_i yang tertentu, nilai rata – rata atau nilai harapan dari factor gangguan acak  u adalah nol. Dalam hal ini,

E ( u | x_i ) = 0                                                                                _(7.1)

Faktor ini mewakili semua factor yang tidak di masukkan secara spesifik ke dalam model.

A7.4. Variasi dari masing – masing u_i adalah konstan, atau homoskedasitas (homo

      Artinya sama, dan skedastis artinya varians). Dalam hal ini:

var ( u_i )  = σ²                                                                                 _(7.2)

secara geometris asumsi ini menyatakan distribusi bersyarat dari tiap populasi Y yang sesuai untuk nilai X tertentu mempunyai varians yang sama. Jika asumsi ini tidak terpenuhi maka kita memiliki kasus heteroskedastisitas atau varians tak sama.

           

A7.5. Tidak ada korelasi diantara dua factor kesalahan acak. Asumsi ini menyatakan tak ada otokorelasi. Secara aljabar dituliskan:

kov (u_i . u_i ) = 0 , i ≠ j                                                                   _(7.3)

Disini kov menyatakan kovarians, sedangkan i dan j adalah dua keselahan acak. (Jika i = j, maka akan memberikan varians dari u yang berdasarkan persamaan (7.2) adalah konstan.

A7.6. Model regresi di tentukan secara tepat, sebagai alternative. Tidak ada bias spesifikasi  atau kesalahan spesifikasi pada model yang digunakan dalam analisis empiris.

VARIASA DAN KESALAHAN STANDAR DARI PENAKSIRAN KUADRAT TERKECIL BIASA

            Varians dan kesalahan standar dari penaksiran ols adalah ;

                                    var ( b₁ ) = = . σ                                                          _(7.4)

                                                                          _(7.5)

                                                                                                        _(7.6)

                                                                                                                                                  _(7.7)

                Di mana var = varians dan se = kesalahan standar, dan σ² adalah varians dari faktor gangguan acak u_i, yang berdasarkan pada asumsi homoskedasitas bahwa asumsi sama untuk setiap u.

            Setelah σ² diketahui, maka semau faktor di sisi kanan persamaan diatas dapat dihitung dengan mudah, yang akan memberikan nilai angka dari avarians dan kesalahan standar penaksiran ols. σ² homoskekdastis ditaksir berdasarkan rumus di bawah ini;

                                                                                   _(7.8)

Diamana  adalah penaksiran dari σ² ( kita gunakan tanda ^ untuk mengindikasikan sebuah penaksiran) dan  adalah jumlah kuadrat residu (RSS), yakni ,  jumlah selisih kuadrat dari Y actual dengan Y taksiran.

Ekspresi (n – 2) disebut sebagai derajat kebebasan (d.k)yang merupakan jumlah observasi independent.

Setelah e_i dapat di hitung, maka  akan mudah untuk di hitung

                                                                                                                         _(7.9)

Perhatikan bahwa yang disebut sebagai kesalahan standar regresi (SER), yang sesungguhnya merupakan deviasi standar dari nilai Y disekitar garis regresi yang ditasir.

MENGAPA OLS ? SIFAT – SIFAT DARI PENAKSIRAN OLS

Teorema Gauss – Markov

Berdasarkan asumsi – asumsi dari model regeresi linear klasik, penaksir ols memiliki varians yang terendah diantara penaksir – penaksir linear lainnya. Dalam hal ini, penaksiran ols disebuat sebagai penaksiran tak bias linearterbaik (best linear unblased /BLUE).

Sifat – sifat dari penaksir OLS sebagai berikut:

1. b₁ dan b₂ merupakn  penaksir linear. Artinya kedua penaksiran itu merupakan fungsi linier dari variable acak Y.
2. Keduan penaksir tidak bias, E(b₁) = B₁ dan E(b₂).
3. E dalam hal ini, varians kesalahn dari penaksiran OLS tidak bias.
4. b₃ dan b₂ merupakan penaksiran yang efisien:

DISTRIBUSI SAMPLING ATAU DISTRIBUSI PROBABILITAS DARI PENAKSIRAN OLS

            Kita perlu menambahkan sebuah asumsi untuk mengetahui / memperoleh distribusi sampling dari penaksiran ols b₁ dan b₂, ke dalam daftar MRLK ialah:

            A7.7. Dalam FRP Y_i = B_i + B₂X_i + u_i, faktor – faktor kesalahan u_i distribusi normal dengan rata – rata sebesar nol dan varians σ². Dalam hal ini

                                    u_i ~ N ( 0, σ² )                                                                   _(7.17)

Teorema Limit Sentar

            Jika ada sejumlah besar variable acak yang didistribusikan secara independent dan identik, maka dengan beberapa pengecualian, distribusi dari jumlah variable acak tersebut cenderung kearah distribusi normal apabila jumlah variable semacam itu bertambah sampai tak terhingga.

            Yang didistribusikan secara normal memiliki dua parameter, nilai rata – rata dan varians. Parameter dari b₁ dan b₂ yang didistribusikan scara normal sebagai berikut:

                                    b₁ ~ N                                                                 _(7.18)

                                    b₂ ~ N                                                                _(7.19)

           

PENGUJIAN HIPOTESIS

           H_o = B₂ = 0   Dalam analisis regresi terapan, Hipotesis “noll” atau disebut sebagai Hipotesis orang-orangan (straw man hypothesis). Dalam persamaan (7.19) kita telah menunjukkan b₂ mengikuti distribusi normal dengan rata-rata = B₂ dan var (b₂) = . Pendekatan yang dapat digunakan ialah:

1.      pendekatan interval keyakinan

2.      pendekatan uji signifikansi untuk menguji suatu hipotesis tentang B₂ maupun B₁.

            Karena b₂ mengikuti distribusi normal dengan rata – rata dan varians yang dinyatakan dalam persamaan (7.19), diketahui bahwa mengikuti distribusi normal standar.

                                               

                                                    = ~ N ( 0.1 )                                                   _(7.20)

            Untuk menggunakan persamaan (7.20),kita harus mngetahui nilai  yang sebenarnya. Koefisien ini tidak diketahui, namun dapat di taksir dengan ² yang dinyatakan dalam persamaaan (7.8‍‍‍). Namun jika mengganti σ dalam persamaan (7.20) dengan penaksiran , maka sisi kanan persamaan (7.20) mengikuti distribusi t dengan d.k (n-2), dan bukan distribusu normal standar; dalam hal ini,

                                                 ~ t_{n – 2                                                                                       (7.21)}

Secara lebih umum:

                                                 ~ t_{n – 2                                                                                      (7.22)}

Pendekatan Uji Signifikansi Dalam Pengujian Hipotesis

            Gagasan utama yang mendasari pendekatan ini dalam pengujian hipotesis adalah statistic uji dan distribusi sampling atau penarikan sampel dari satistik uji yang dinyatakan dalam hipotesis nol, H₀. Keputusan menerima atau menolak H₀ dilakukan berdasarkan nilai statistic uji yang di perolehdari data sampel.

Untuk mengilustrasikan pendekatan ini : 

Mengikuti distribusi t dengan d.k. (n-2). Sekarang jika kita misalkan : H₀ : B₂ = B₂

                    Dimana B₂ adalah nilai angka tertentu dari B₂ ( missal B2 = 0), maka dapat langsung dihitung dari data sampel:

                               

                                                                           _(7.29)

Tiga hal untuk menggunakan uji t dalam penerapan nyata:

1.      Derajat kebebasan (d.k.) yang selalu (n-2) untuk model dua variabel.

2.      Tingkat signifikasi α , yang merupakan pilihan subjektif, meskipun angka 1,5 atau 10 persen biasanya digunakan dalam analisis empiris.

3.      Apakah kita akan menggunkan pengujian satu sisi atau dua sisi.

SEBERAPA COCOK GARIS REGRESI YANG DISESUAIKAN : KOEFISIEN DETERMINASI, (r²)

            Koefisien determinasi dinotasikan dengan symbol r². Guna mengetahui cara menghitung r², dilakukan langkah – langka sepertii di bawah ini .

                                                                                                                           _(6.5)

            Dengan memisalkan huruf kecil menyatakan deviasi dari nilai rata-rata, dapat ditulis persamaan (7.17) sebagai

                                                y_i = ỷ_i + e_{i                                                                                                   (7.32)}

            Perhatikan pula bahwa ē = 0,yang mana menghasilkan  dalam hal ini nilai rata-rata dari Y actual dan Y taksir adalah sama. Atau

                                                y_i = b₂x_i + e_{i                                                                                              (7.33)}

Karena ŷ_i = b₂x_i

            Kini dengan mengkuadratkan persamaan (7.33) di kedua sisinya dan jumlahkan untuk seluruh sampel, lalu dengan sedikit manipulasi aljabar sederhana kita peroleh:

                                                                                                   _(7.35)

Kuadrat pada persamaan (7.35) didefinisikan:

         = variasi total dari nilai Y actual disekitar rata-rata sampel , yang disebut total jumlah kuadrat (total sum of squqres/TSS).

          = variasi total dari nilai Y taksiran disekitar nilai rata-rata ( ) disebut jumlah kuadrat yang dijelaskan (explained sum of squares/ESS)

          = disebut jumlah kuadrat residu (residual sum of squares/RSS)Secara sederhana persamaan (7.35) adalah:

                                                TSS = ESS + RSS                                                            _(7.36)

            Jika RSS relative lebih besar dari ESS maka FRS hanya menjelaskan sebagian kecil saja dari variasi Y, dan sebaliknya. Jika kita membagi persamaan (7.36) dengan TSS pada kedua sisinya , mka diperoleh:

                                                                                                               _(7.37)

kita defiisikan:

                                                                                                                        _(7.38)

            Besaran r² yang didefinisikan diatas disebut sebagai koefisien determinasi (sampel), secara verbal r²mengukur bagian / persentase total variasi Y yang dijelaskan oleh model regresi.

 Dua sifar r² yang bias dicatat:

1.      r² bukan merupakan besaran negative.

2.      Batasnya adalah 0 ≤ r² ≤ 1 karena sebagian (ESS) tidak dapat lebih besar daripada seluruh (TSS)

RUMUS UNTUK MENGHITUNG  r²

Dengan menggunakan persamaan (7.38) persamaan (7.37) dapat dituliskan :

                                               

                                                                                                                                                            _(7.39)

Oleh karena itu:

                                                                                                                                                          _(7.40)

Kpefisien korelasi r dapat di hitung dengan persamaan (7.34) yang dapat dituliskn juga seperti:

                                                                                                                            _(7.42)

                                                                        _(7.43)

Dapat juga dihitung dari koefisien determinasi r² yaitu:

                                                                                              _(7.44)

PELAPORAN HASIL ANALISIS REGRESI

            Jika kita menyatakan hipotesis nol secara spesifik, maka kita akan mengasumsikan bahwa itu merupakan hipotesis nol yang sebersa nol.Dan bila kita menolak hipotesis nol tersebut berarti nilai populasi yang sebenarnya berbeda dari nol.

            Salah satu keunggulan dari pelaporan hasil regresi adalah dapat langsung mengetahui apakah tia-tiap koefisien yang ditaksir masing-masing signifikan secara statistic atau dengan kata lain bebeda secara signifikan dari nol. Semakin kecil nilai p semakin besar bukti yang menentang hipotesis nol.

            Hipotesis nol yang sebesar nol pada dasarnya semacam orang-orangan. Hipotesis ini biasanya digunakan untuk alas an strategis yaitu untuk mendramatisir signifikan (bobot) statistic dari koefisisen yang ditaksir.

OUTPUT

            Dibawah ini output untuk contoh tentang lotto yang di peroleh dari program computer eviews:

Dependent variable: Y

Method: Least Squares

Sampel: 1 10

Included Observations; 10

Variable                   Coefficient            Std. Error             t-Statistic            Prob.

C                                 7.6181                 3.0523                  2.4958               0.0372

X                                 0.0814                 0.0112                  7.2624               0.0001

                   R-squared                             0.8682

                   S.E. of regression                 2.5468

Sum square resid.                51.8909

Dalam output ini C menyatakan factor konstanta (titik potong): Prob. Adalah nilai p; sum of square resid adalah RSS; S.E.of regression adalah kesalahan standar dari regresi. Nilai t yang du sajikan berdasarkan hipotesis (nol) bahwa koefisien regresi populasi yang sesuai adalah nol.

UJI NORMALITAS

Histogram Residu

            Histogram residu merupakan perangkat grafik sederhana yang digunakan untuk mempelajari sesuatu tentang bentuk fungsi kepadatan probalitas (FKP) dari suatu varabel acak.

Gambar Probabilitas Normal (GPN)

             GPN merupakan perangkat grafik yang reltif sederhana lainnya untuk mempelajari FKP dari suatu variable acak yang menggunakan kertas distribusi normal, yakni kertas yang digarisi khusus untuk menggambar grafik. Hipotesis ini dapat diterima apabila A² yang dihitung tidak signifikan secara statistic.

Uji Jarque-Bera (JB)

            JB merupakan uji normalitas yang kini menjadi sangat popular dan tercangkup didalam beberapa paket computer statistic. Ini merupakan uji asimtotis / sampel besar dan didasari atas residu OLS.

Jarque dan Bera telah mengembangkan statistic uji berikut ini:

                                                                                                                       _(7.47)

Secara simbolis,

                                                                                                                                                  _(7.48)

Dimana asy adalah secara simbolis.

CATATAN TENTANG RAMALAN

            Nilai penaksiran tersebut  tak mungkin sama dengan nilai rata-rata yang sebenarnya dalam suatu sampel tertentu. Selisih antara keduanya disebut kesalahan peramalan atau ksalahan prediksi.

BAB 8

REGRESI BERGANDA: PEANAKIRAN DAN PENGUJIAN

MODEL REGRESI LINEAR TIGA VARIABEL

            Dengan menyatakan fungsi regresi populasi (FRP) 2 variabel, kita dapat menuliskan FRP 3 variabel dalam bentuk nonstokhastik sebagai berikut:

                        E(Y₁) = B₁ + B₂ X_2t + B₃ X_3t                                                                          (8. 1)             

Dan dalam bentuk stokhastik adalah sebagai berikut:

                        Y_t = B₁ + B₂ X_2t + B₃ X_3t + μ₁                                                                                       (8. 2)

                                     = E(Y_t) + μ_t                                                                                         (8. 3)

Ket:

     Y                = Variabel tak bebas

     X2 dan X3 = Variabel- variabel penjelas

     μ                 = Faktor gangguan stokhastik

     t                  = Observasi ke- t

Arti Koefisien Regresi Parsial

            Koefisien regresi parsial mencerminkan pengaruh parsial dari sebuah variabel penjelas tehadap nilai rata-rata variabel tak bebas apabila nilai variabel- variabel penjelas lainnya yang terdapat didalam model dipertahankan konstan. Artinya B₂ mengukur perubahan nilai rata-rata Y, E(Y), untuk tiap unit perubahan dalam X₂, sementara nilai X₃ dipertahankan konstan. Demikian pula, B₃ mengukur perubahan nilai rata-rata Y untuk tiap unit perubahan dalam X₃, sementara nilai X₂ dipertahankan konstan.

ASUMSI- ASUMSI MODEL REGRESI LINEAR BERGANDA

• Model regresi ini memiliki parameter- parameter yang bersifat linear sebagaimana yang  ditunjukkan persamaan (8.1) dan bahwa model ini ditentukan secara tepat.
• X₂ dan X₃ tidak berkorelasi dengan faktor gangguan μ. Namun jika X₂ dan X₃ berifat nonstokhastik, maka asumsi ini otomatis terpenuhi.
• Faktor kesalahan μ mempunyai nilai rata- rata sebesar nol.

                        E(μ_i) = 0                                                                      (8. 4)

• Homokedastisitas atau varians dari μ adalah konstan.

                        Var (μ_i) = σ²                                                                (8. 5)

• Tidak ada otokorelasi antara faktor kesalahan μ_i dan μ_j.

                                Cov (μ_i, μ_j)  i ≠ j                                                          (8. 6)

• Tidak ada kolinearitas nyata antara X₂ dan X₃. dalam hal ini tidak ada hubungan linear yang nyata antara kedua variabel penjelas. Ini merupakan asumsi baru yang akan dijelaskan selanjutnya.
• Untuk pengujian hipotesis, faktor kesalahan μ mengikuti distribusi normal dengan rata- rata sebesar nol dan varians σ² (homoskedastis).

                        μ_i ~ N (0, σ₂)                                                               (8. 7)

PENAKSIRAN PARAMETER DALM REGRESI BERGANDA

PENAKSIRAN KUADRAT TERKECIL BIASA

Untuk mendapatkan penaksiran- penakiran OLS, dituliskan fungsi regresi sampel (FRS) yang sesuai untuk FRP persamaan (8. 2) sebagai berikut:

                                    Y_t = b₁ + b₂ X_2t + b₃ X_3t + e_t                                                   (8. 8)

Ket:

      b₁ = penaksir dari B₁

      b₂ = penaksir dari B₂

      b₃ = penaksir dari B₃

keseimbangan untuk tingkat sampel dari persamaan (8. 1) adalah

                                    Ŷ = b₁ + b₂X_2t – b₃X_3t                                                 (8. 9)

Yang merupakan taksiran dari garis regresi populasi (GRP)

Prinsip OLS memilih nilai- nilai dari parameter-parameter yang tak diketahui seemikian rupa sehingga jumlah kuadrat residu (Rss) nya ∑e_t² sekecil mungkin. Untuk itu, mula- mula ditulis persamaan (8. 8) sebagai

                                  e_t = Y_t – b_t – b₂ X_2t + b₃ X_3t                                                        (8.10)

dengan mengkuadratkan persamaan ini pada kedua sisi- sisinya dan menjumlahkan diantara seluruh observasi sampel, diperoleh:

                                 Rss = ∑e_t² = ∑ (Y_t – b₁ – b₂ X_2t – b₃ X_3t)²                     (8.11)

Minimisasi persamaan (8. 11) melibatkan metode diferensiasi dalam kalkulus.

                                = b₁ = b₂ X₂ + b₃ X₃                                                                       (8.12)

                                ∑ YX_2t = b₁ ∑ X_2t + b₂ ∑ X₂²_t + b₃ ∑ X_2t X_3t                          (8.13)

                                ∑ Y_t X_3t = b₁ ∑X_3t + b₂ ∑X_2t X_3t + b₃ ∑ X₃²_t                          (8.14)

Dengan manipulasi aljabar sederhana untuk persamaan- pesamaan diatas, diperoleh ketiga penaksiran OLS sebagai berikut:

                               b₁ = Ῡ - b₂ X₂ + b₃ X₃                                                         (8. 15)

                               b₂  =             (8. 16)

                                              b₃ =          (8. 17)

dimana, huruf kecil menyatakan devlasi dari nilai rata-rata sampel           

VARIANS DAN KESALAHAN STANDAR DARI PENAKSIR OLS

            Tujuan utama kesalahan standar :

1. untuk menetapkan interval keyakinan bagi nilai – nilai parameter yang sebenarnya
2. untuk menguji hipotesis statistic

rumus – rumus yang relevan, tanpa perlu pembuktian adalah sebagai berikut :

Va_r (b_r) =  + [] σ^{2                                                  (8.23)}

Se (b₁) =                                                                                                            _(8.24)

Var (b₂) = .                                                                _(8.25)

Se (b₂)   =                                                                                                         _(8.26)

Var (b₂) = .                                                                _(8.27)

Se (b₃)   =                                                                                                         _(8.28)

Di dalam semua rumus ini,  merupakan varians (yang homoskedastis) dari faktor kesalahan populasi u_t. Penaksir OLS dari varians yang tak diketahui ini adalah

=

Cara pintas menghitung RSS

= - b₂ x_2t  -b₃ x_3t

KECOCOKAN SUAI DARI REGRESI BERGANDA YANG DITAKSIR: KOEFISIEN DETERMINASI BERGANDA, R²

TSS = ESS + RSS

Dimana TSS = jumlah total kuadrat variabel tak bebas Y

              ESS = Jumlah kuadrat yang dijelaskan

              RSS = Jumlah kuadrat residu

R²     =                                                                                              (8.28)

ESS  =                                                                 (8.29)

RSS  =                                                     (8.30)

R²     =                                                                (8.31)

Atau    R²     = 1 - = 1 -                                                                     (8.32)

PENGUJIAN HIPOTESIS DALAM MODEL REGRESI BERGANDA: PENDAPAT UMUM

                     t = ~ t_{n-3                                                                                                         (8.33)­}

                     t = ~t_{n-3                                                                                                         (8.34)}

                            t = ~t_{n-3                                                                                                          (8.35)}

PENGUJIAN HIPOTESIS TENTANG MASING – MASING KOEFISIEN REGRESI PARSIAL

                       Ho : B₂ = 0 dan H₁ : B₂  0

      Dalam hipotesis sebelumnya, diketahui

                     t =

                    =

B_{2 = 0}

PENGUJIAN HIPOTESIS GABUNGAN BAHWA B₂ = B₃ = 0 ATAU R² = C

      Hipotesis nol                        H₀  : B₂ =  B₂ =  0                                                  _(8.37)

Hipotesis nol ini adalah “ hipotesis gabungan “ bahwa B₂ dan B₃ secara bersama- sama / simultan sama dengan nol. Hipotesis ini menyatakan bahwa kedua variabel penjelas secara bersama-sama tidak berpengaruh terhadap Y. Ini sama saja dengan mengatakan bahwa

H₀ : R³ = 0                                                                   _(8.38)

Dalam hal ini, kedua variabel penjelas sebanyak nol persen terhadap variasi variabel tak bebas . Oleh karena itu , kedua himpunan hipotesis (8.37) dan (8.38) adalah ekuivalen ; yang satumenyiratkan yang lain. Pengujian terhadap salah satu hipotesis ini disebut “uji signifikasi keseluruhan terhadap regresi berganda yang ditaksir.

Prosedur uji t, kendati berlaku bagi pengujian signifikansi  statistic dari masing-masing koefisien regresi, tidaklah berlaku bagi pengujian hipotesis gabungan.

Analisis Varians (Anova)

TSS = ESS + RSS                                                                    _(8.39)

Dalam hal ini

∑ _yt² =  B₂ ∑ y_{t X 2t}  +  b₃ ∑ yt _{X 3t}  + ∑ _et²

Hubungan Penting Antara F Dan R²

Hubungan antara koefisien determinasi R² dan rasio F yang digunakan dalam ANOVA adalah:

                                    F =                                                                _(8.40)

Dimana n = jumlah observasi dan k = jumlah variabel termasuk titik potong .

Bila R=O,F juga sama dengan nol ipso facto . Semakin besar nilai R², maka nilai F  akan semakin besar pula. Pada batas R²  = 1, nilai F mencapai tak terhingga.

BAB 9

BENTUK FUNGSIONAL DARI MODEL REGRESI

BAGAIMANA  MENGUKUR ELASTISITAS MODEL LOG-LINEARS

Marilah kita meninjau kembali fungsi pengeluaran untuk membeli lotto yang telah dibahas didalam bab 6 dan 7.namun sekarang pertimbangkan model fungsi pengeluaran untuk membeli lotto dibawah ini,.( untuk memudahkan perhitungan aljabalnya.kita akan memperkenalkan faktor kesalahan u_i belakangan).

Y₁ = AX₁^B2                                                                        _(9.1)

Dimana y adalah pengeluaran untuk membeli lotto dan x adalah pendapatan disposibel per kapita (PDP)

            Model ini memiliki variable x yang tak linear .² akan tetapi, marilah menyatakan persamaan (9.1) dalam bentuk lain namun artinya sama.nyakni sebagai berikut:

Ln y₁ = Ln A + B₂ ln x_{1                                                    (9.2)}

Dimana ln = logaritma netral,atau dengan kata lain,logaritma terhadap basis e.³ sekarang, bila kita misalkan

B₁ = ln A                                                                           _(9.3)

Kita dapat menuliskan persamaan (9.2) sebagai :

Ln y₁ = B₁ + B₂ ln x_{1                                                                            (9.4)}

Dan untuk keperluan penaksiran, kita dapat menuliskan model ini sebagai

Ln y₁ = B₁ + B₂ ln x_i + u_{i                                                  (9.5)}

Ini merupakan model regresi linear, karena parameter B₁ da B₂ dalam model ini berbentuk linear.⁴ menariknya,model ini juga linear karena variabel y dan x dinyatakan dalam bentuk logaritma.

Pengujian Hipotesis dalam model Log-Linear

Sejauh menyangkut penggujian hipotesis,sama sekali tidak ada perbedaan antara model linear dan model log-linear.berdasarkan asumsi bahwa faktor kesalahan mengikuti distribusi normal dengan rata-rata sebesar nol dan varians konstan sebesar 0².maka berlaku bahwa masing-masing tanda regresi yang ditaksir didistribusikan secara normal.

MEMBANDINGKAN MODEL REGRESI LINEAR DAN LOG-LINEAR

Dalam kesempatan ini kita coba bahas sebuah pertayaan praktis yang penting.kita telah mencocokkan fungsi pengeluaran untuk membeli lotto yang linear ( dari segi variabel) yakni persamaan (7,46) maupun fungsi permintaan log-linear yaitu persamaan (9.8) untuk contoh kita tentang lotto.model manakah yang sebaiknya kita pilih? Kendati teori ekonomi menunjukkkan bahwa pengeluaran atas suatu barang atau jasa pada umumya berkorelasi secara positif dengan PDP,⁹ teori ini sering tidak cukup menyakinkan untuk memberitahukan bentuk fungsional tertentu yang cocok mengenai hubungan diantara keduanya.

MODEL REGRESI BERGANDA LOG-LINEAR

Model log-linear dua variabel dengan mudah digeneralisir menjadi model yang memuat lebih dari satu variabel penjelas,sebagai contoh,model log-linear tiga variabel dapat di nyatakan sebagai berikut:

Ln y₁ = B­₁ + B₂ ln X _2i + B₃ ln X_3t + u_{1                                                    (9.10)}

Dalam model ini, koefisien kemiringan parsial B₂ dan B₃ juga disebut sebagai koefisien elastisitas parsial.^13.jadi,B_2­ mengukur elastisitas y terhadap x₂,dengan mempertahankan pengaruh X₃ pada tingkat yang konstan; B₂ mengukur persentase perubahan y untuk setiap persen perubahan X_2.dengan mempertahankan pengaruh x₃ pada tingkat yang konstan.karena pengaruh x₃ dipertahankan konstan,maka B₂ disebut elasititas parsial.demikian pula B₃ mengukur elatisitas (parsial) dari y terhadap x₃, dengan mempertahankan pengaruh X₂ pada tingkat yang konstan . singkatnya, dalam model berganda log-linear,tiap koefisien kemiringan parsial mengukur elastisitas parsial variabel tak bebas terhadap variabel penjelas yang bersangkutan,dengan mempertahankan semua variabel lain pada tingkat yang konstan.

BAGAIMANA MENGUKUR LAJU PERTUMBUHAN : MODEL SEMI-LOG

Model Tren Linear

           

Sebagai model perhitungan yang cepat dan layak pakai, para peneliti menaksir model berikut ini:

Y₁ = B₁ + B_2t + u _{t                                                                            (9.13)}¹⁴

Dalam hal ini,regresi y terhadap t saja; dimana waktu di ukur secara urut,model semacam itu cocok disebut sebagai model tren linear,dan variabel waktu t disebut sebagai variabel tren.¹⁷ jika koefisien kemiringan dari model diatas bernilai positif,berarti terdapat tren ke atas dari y, sedangkan jika negatif berarti terdapat tren kebawah dari y.

           

Cacatan peringatan : cara tradisional dalam memperkenalkan variabel tren t dalam model-model seperti (9.18) dan (9.22) kini banyak dipertanyakan oleh pakar ekonometrika deret berkala genersi sekarang.mereka berpendapat bahwa cara semacam itu hanya dapat di benarkan apabila faktor kesalahan u _t dalam model-model diatas tak dapat berubah – ubah (stasioner)

MODEL LIN-LOG : BILAMANA VARIABEL PENJELASNYA BERBENTUK LOGARITMA

Dalam bagian terdahulu kita telah membahas tentang model pertumbuhan dimana variabel tak bebasnnya berbentuk logaritma namun variabel penjelasnya berbentuk linear.kita dapat menyebut model semacam itu sebagai model log-lin atau model pertumbuhan.

MODEL-MODEL KEBALIKAN

            Model-model seperti yang terdapat dibawah ini disebut sebagai model kebalikan atau berbanding terbalik(reciprocal model)

Y_i  = B₁ + B_{2  1                                                                (9.28)}

Model ini memiliki variabel X yang berbentuk nonlinear karena variabel tersebut  merupakan model dalam bentuk kebalikan atau berbanding terbalik,namun model tersebut merupakan model regresi linear karena parameter – parameter nya linears.

MODEL – MODEL REGRESI POLINOMIAL

Yang disebut sebagai fungsi kubik,atau secara lebih umum,fungsi polinomial tingkat tiga dalam variabel X- panakat tertinggi dari x menyatakan tingkatan dari fungsi polimial.

REGRESI MELEWATI TITIK NOL

Adakalanya regresi mengamsumsi bentuk seperti dibawah ini,yang kita ilustrasikan dengan model dua variabel.meskipun generalisasi menjadi model regresi berganda cukup mudah dilakukan.

Y_{1 =}B₂X­₂ + u_{1                                                                         (9.35)}

Dalam model ini, titik potongya tidak ada alias nol.dan karenanya disebut regresi melewati titik nol.untuk persamaan ini dapat ditunjukkan bahwa²⁶

b₂ =                                                           _(9.36)

var (b₂) =                                                    _(9.37)

                                                        ­   _(9.38)

Jika kita bandingkan rumus-rumus tersebut dengan rumus-rumus untuk model dua variabel yang memiliki titik potong.yakni sebagaimana yang dinyatakan dalam persamaan (6.17).(7.6).(7.8) kita dapat melihat beberapa perbedaan. Pertama,dalam model tampa titik potong,kita menggunakan perhitungan kasar untuk jumlah kuadrat dan perkalian silangnya,sedangkan dalam model titik potong, kita menggunakan jumlah perkalian kuadrat dan perkalian

silang yang disesuaikan terhadap nilai rata-rata.kedua,d.k.dalam menghitung  sekarang sebesar (n-1) dan bukannya (n-2) karena dalam persamaan (9.35) kita hanya mempunyai satu koefisien yang diketahui.ketiga, rumus konvensional dalam menghitung r² yang kita gunakan selama ini secara tegas mengamsumsikan bahwa model tersebut mempunyai titik.oleh karena itu, kita sebaiknya tidak menggunakan rumus itu.jika kita menggunakan rumus tersebut,maka kadang-kadang akan mendapatkan hasil yang tidak masuk akal karena nilai hitung r² bisa menjadi negatif.terakhir,untuk model-model yang memiliki titik potong, jumlah dari residu yang di taksir. ∑û_i = ∑e_i selalu sebesar nol,tetapi untuk model yang tidak memiliki titik potong halnya tidak selalu demikian.

CACATAN TENTANG SKALA PENGUKURAN

Berbagai variabel, entah itu variabel ekonomi atau bukan,dinyatakan dalam berbagai satuan pengukuran.sebagai contoh, kita dapat menyatakan temperatur dalam satuan fahrenheit atau celcius.PDB dapat diukur dalam satuan juta atau miliar dolar AS.apakah hasil regresi sensitif terhadap satuan pengukuran? Jawabannya adalah bahwa beberapa hasil  regresi memang sensitif edangkan   beberapa lainnya tidak.untuk menunjukkan tentang hal ini,perhatikan data yang disajikan dalam tabel (9.10).

• Variabel: PMDNSBM = penanaman modal dalam negeri swasta brutto(dalam miliar  dolar AS tahun 1992)
• PMDNSBJ = penanaman modal dalam negeri swasta brutto ( dalam juta dollar AS harga konstan tahun1992)
• PDBM = produk domestik brutto ( dalam miliar dolar AS harga konstan tahun 1992)
• PDBJ = produk domestik brutto ( dalam juta dolar AS harga konstan tahun 1992)

Tabel 9.10 Penanaman Modal Dalam Negeri Swasta Bruto Dan Produk Domestik Bruto,Amerika Serikat 1988-1997

TAHUN	PMDNSBM	PMDMSBJ	PDBM	PDBJ
1988	828,2	828200	5865,2	5865200
1989	863,5	863500	6062,0	6062000
1990	815,0	815000	6136,3	6136300
1991	738,1	738100	6079,4	6079400
1992	790,4	790400	6244,4	6244400
1993	863,6	863600	6389,6	6389600
1994	975,7	975700	6610,7	6610700
1995	996,1	996100	6761,6	6761600
1996	1084,1	1084100	6994,8	6994800
1997	1206,4	1206400	7269,8	7269800

Tabel ini memberikan data tentang penanaman modal dalam negeri swasta brutto yang diukur dalam miliar dolar AS (PDBM) dan data yang sama dinyatakan dalam juta dolar AS (PDBJ).

IKHTISAR TENTAG BENTUK –BENTUK FUNGSIONAL

            Dalam bab ini kita akan membahas beberapa model regeresi yang meskipun parameter nya linier, namu variabelnya tak perlu linier.untuk masing-masing model tersebut,kita mencatat beberapa fitur khususnya dan juga berbagai situasi yang mungkin cocok untuk menerapkannya.sebagaimana yang ditunjukkan oleh tabel (9.11) untuk model-model yang variabelnya linier (VL) koefisien kemiringannya konstan tetapi koefisien elastisitas nya berubah-ubah .sedangkan untuk model log atau log linier,koefisien elastisitasnya berubah-ubah.koefisien elastisitasnya konstan tetapi koefisien kemiringannya berubah-ubah.

IKHTISAR

            Dalam bab ini kita akan membahas model-model yang parameternya linier,atau yang dapat di buat linier melalui transpormasi yang sesuai.namun variabel-variabelnya tidak perlu linier.ada banyak model semacam itu, yang masing-masing memiliki penerapan khusus.kita membahas lima jenis model penting yang parameternya linier namun variabelnya tak linier yaitu:

1.      model log-linier, dimana variabel tak bebas maupun variabel penjelasnya dinyatakan dalam bentuk logaritma.

2.      model log-lin atau model pertumbuhan,dimana variabel tak bebasnya berbentuk logaritma namun variabel bebasnya berbentuk linier.

3.      model lin-log, dimana variabel tak bebasnya berbentuk linier namun variabel bebasnya berbentuk logaritma.

4.      model kebalikan ,dimana variabel tak bebasnya berbentuk linier tetapi variabel bebasnya tidak .²⁸

5.      model polinomial,dimana variabel bebasnya memiliki pangkat yang berbeda-beda.

Penyusunan model mensyaratkan keseimbangan antara teori,ketersediaan data tentang sifat – sifat statistik dari berbagai model yang ada, maupun penjelas yang sulit di pahami yang disebut penilaian praktis.

            Apapun model yang dipilih dalam praktek,kita harus memperhatikan dengan cermat satuan yang di gunakan dalam mengukur v maupun variabel bebasnya. Karena penafsiran atas koefisien – koefisien regresi akan tergantung pada satuan pengukuran tersebut.